Algèbre Exemples

$\log_{b} (x) + \log_{b} (3) = \log_{b} (27) - 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x \cdot 3) = \log_{b} (27) - 1$

Étape 1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\log_{b} (3 x) = \log_{b} (27) - 1$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{b} (3 x) - \log_{b} (27) = - 1$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{3 x}{27}) = - 1$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $3$ et $27$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\log_{b} (\frac{3 (x)}{27}) = - 1$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\log_{b} (\frac{3 x}{3 \cdot 9}) = - 1$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{b} (\frac{3 x}{3 \cdot 9}) = - 1$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{b} (\frac{x}{9}) = - 1$

Étape 5

Réécrivez $\log_{b} (\frac{x}{9}) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$b^{- 1} = \frac{x}{9}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{9} = b^{- 1}$ .

$\frac{x}{9} = b^{- 1}$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 b^{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{x}{9} = 9 b^{- 1}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 9 b^{- 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $9 b^{- 1}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 9 \frac{1}{b}$

Étape 6.3.2.1.2

Associez $9$ et $\frac{1}{b}$ .

$x = \frac{9}{b}$