Algèbre Exemples

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $\log_{5} (405)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Étape 1.1.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $\log_{5} (5)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ par $4$ .

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $\log_{5} (3 k + 12)$ .

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ dans le numérateur.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $4 \log_{5} (3 k + 12)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $3 \log_{5} (405)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

Étape 4.1.2

Élevez $405$ à la puissance $3$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

Étape 4.1.3

La base logarithmique $5$ de $5$ est $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k + 12$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 k$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Étape 7.1.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Étape 7.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 k + 3 \cdot 4$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

Étape 7.2

Appliquez la règle de produit à $3 (k + 4)$ .

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Étape 7.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $81$ et $66430125$ .

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Étape 8.1

Factorisez $81$ à partir de $81 {(k + 4)}^{4}$ .

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $81$ à partir de $66430125$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

Étape 9

Réécrivez $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

Étape 10

Résolvez $k$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ .

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

Étape 10.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $820125$ .

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Étape 10.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.1.1

Annulez le facteur commun de $820125$ .

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Étape 10.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Étape 10.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez $820125 \cdot 5^{- 3}$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

Étape 10.3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

Étape 10.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 10.3.2.1.3.1

Factorisez $125$ à partir de $820125$ .

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

Étape 10.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

Étape 10.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

${(k + 4)}^{4} = 6561$

Étape 10.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

Étape 10.5

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

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Étape 10.5.1

Réécrivez $6561$ comme $9^{4}$ .

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

Étape 10.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$k + 4 = \pm 9$

Étape 10.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$k + 4 = 9$

Étape 10.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $k$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.6.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$k = 9 - 4$

Étape 10.6.2.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$k = 5$

Étape 10.6.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$k + 4 = - 9$

Étape 10.6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $k$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.6.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$k = - 9 - 4$

Étape 10.6.4.2

Soustrayez $4$ de $- 9$ .

$k = - 13$

Étape 10.6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$k = 5, - 13$

Étape 11

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ vrai.

$k = 5$