Algèbre Exemples

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \log_{9} (\sqrt{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{10 x + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 3

Factorisez $5$ à partir de $10 x + 5$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x) + 5 (1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 x) + 5 (1)$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)}}{\sqrt{x + 1}}$ par $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.3

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.6

Réécrivez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ comme $x + 1$ .

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Étape 5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Étape 5.6.5

Simplifiez

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1)} \sqrt{x + 1}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Étape 6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$

Étape 7

Réécrivez $\log_{9} (\frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}) = \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$9^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}{x + 1}$

Étape 8

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Étape 9

Simplifiez $9^{\frac{1}{2}} (x + 1)$ .

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + 1)$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{2 (\frac{1}{2})} (x + 1)$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3^{1} (x + 1)$

Étape 9.3

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 (x + 1)$

Étape 9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3 \cdot 1$

Étape 9.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 x + 3$

Étape 10

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} - 3 x = 3$

Étape 11

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)} = 3 + 3 x$

Étape 12

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 (2 x + 1) (x + 1)}$ comme ${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

Simplifiez ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 13.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 13.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 13.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(5 (2 x + 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${((5 (2 x) + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 13.2.1.1.3.1

Multipliez $2$ par $5$ .

${((10 x + 5 \cdot 1) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.1.3.2

Multipliez $5$ par $1$ .

${((10 x + 5) (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.2

Développez $(10 x + 5) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(10 x (x + 1) + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 (x + 1))}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(10 x \cdot x + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

${(10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(10 x^{2} + 10 x \cdot 1 + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.3.1.2

Multipliez $10$ par $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5 \cdot 1)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

${(10 x^{2} + 10 x + 5 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.3.2

Additionnez $10 x$ et $5 x$ .

${(10 x^{2} + 15 x + 5)}^{1} = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.2.1.4

Simplifiez

$10 x^{2} + 15 x + 5 = {(3 + 3 x)}^{2}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.3.1

Simplifiez ${(3 + 3 x)}^{2}$ .

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Étape 13.3.1.1

Réécrivez ${(3 + 3 x)}^{2}$ comme $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = (3 + 3 x) (3 + 3 x)$

Étape 13.3.1.2

Développez $(3 + 3 x) (3 + 3 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 (3 + 3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Étape 13.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x (3 + 3 x)$

Étape 13.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 3 \cdot 3 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Étape 13.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.3.1.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 3 (3 x) + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Étape 13.3.1.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 3 x \cdot 3 + 3 x (3 x)$

Étape 13.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 x (3 x)$

Étape 13.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x \cdot x$

Étape 13.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 (x \cdot x)$

Étape 13.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 x^{2}$

Étape 13.3.1.3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 9 x + 9 x + 9 x^{2}$

Étape 13.3.1.3.2

Additionnez $9 x$ et $9 x$ .

$10 x^{2} + 15 x + 5 = 9 + 18 x + 9 x^{2}$

Étape 14

Résolvez $x$ .

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Étape 14.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 14.1.1

Soustrayez $18 x$ des deux côtés de l’équation.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9 + 9 x^{2}$

Étape 14.1.2

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$10 x^{2} + 15 x + 5 - 18 x - 9 x^{2} = 9$

Étape 14.1.3

Soustrayez $9 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$x^{2} + 15 x + 5 - 18 x = 9$

Étape 14.1.4

Soustrayez $18 x$ de $15 x$ .

$x^{2} - 3 x + 5 = 9$

Étape 14.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x + 5 - 9 = 0$

Étape 14.3

Soustrayez $9$ de $5$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Étape 14.4

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 14.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 14.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Étape 14.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 14.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 14.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 14.7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 14.7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 14.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 14.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 4, - 1$

Étape 15

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{9} (\sqrt{10 x + 5}) - \frac{1}{2} = \log_{9} (\sqrt{x + 1})$ vrai.

$x = 4$