Algèbre Exemples

$\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x + 2)}^{2}, x^{2} + 8$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Les facteurs pour $x + 2$ sont $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , qui correspond à $x + 2$ multiplié par lui-même $2$ fois.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ se produit $2$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $x^{2} + 8$ est $x^{2} + 8$ lui-même.

$(x^{2} + 8) = x^{2} + 8$

$(x^{2} + 8)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de ${(x + 2)}^{2}, x^{2} + 8$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$ par ${(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{3}{x^{2} + 8}$ par ${(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8)$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}} ({(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8)) = \frac{3}{x^{2} + 8} ({(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}} ({(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8)) = \frac{3}{x^{2} + 8} ({(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 (x^{2} + 8) = \frac{3}{x^{2} + 8} ({(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8))$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 \cdot 8 = \frac{3}{x^{2} + 8} ({(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8))$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$3 x^{2} + 24 = \frac{3}{x^{2} + 8} ({(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 8$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $x^{2} + 8$ à partir de ${(x + 2)}^{2} (x^{2} + 8)$ .

$3 x^{2} + 24 = \frac{3}{x^{2} + 8} ((x^{2} + 8) {(x + 2)}^{2})$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + 24 = \frac{3}{x^{2} + 8} ((x^{2} + 8) {(x + 2)}^{2})$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + 24 = 3 {(x + 2)}^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez $3 {(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$3 x^{2} + 24 = 0 + 0 + 3 {(x + 2)}^{2}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 ((x + 2) (x + 2))$

Étape 4.1.3

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 24 = 3 (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 24 = 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Étape 4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 24 = 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 24 = 3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4$

Étape 4.1.6.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$3 x^{2} + 24 = 3 x^{2} + 12 x + 12$

Étape 4.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x^{2} + 12 x + 12 = 3 x^{2} + 24$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 12 x + 12 - 3 x^{2} = 24$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} + 12 x + 12 - 3 x^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$12 x + 12 + 0 = 24$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $12 x + 12$ et $0$ .

$12 x + 12 = 24$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$12 x = 24 - 12$

Étape 4.4.2

Soustrayez $12$ de $24$ .

$12 x = 12$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $12 x = 12$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $12 x = 12$ par $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 4.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{12}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.3.1

Divisez $12$ par $12$ .

$x = 1$