Algèbre Exemples

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$8 x, 8 x^{2}, x$

Étape 2.2

Comme $8 x, 8 x^{2}, x$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $8, 8, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Les facteurs premiers pour $8$ sont $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 2.4.1

$8$ a des facteurs de $2$ et $4$ .

$2 \cdot 4$

Étape 2.4.2

$4$ a des facteurs de $2$ et $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.6

Le plus petit multiple commun de $8, 8, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Étape 2.7

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 2$

Étape 2.7.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$8$

Étape 2.8

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 2.10

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $x^{1}, x^{2}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 2.12

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 2.13

Le plus petit multiple commun pour $8 x, 8 x^{2}, x$ est la partie numérique $8$ multipliée par la partie variable.

$8 x^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ par $8 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x - 1}{8 x} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} - \frac{1}{x}$ par $8 x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{8 x} (8 x^{2}) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$8 \frac{x - 1}{8 (x)} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{x - 1}{8 x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{x} x^{2} = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 1}{x} (x \cdot x) = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$(x - 1) x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 1 x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} (8 x^{2}) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2}$ .

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 (x^{2})} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - x = 8 \frac{(x + 1) (x + 5)}{8 x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - x = \frac{(x + 1) (x + 5)}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x = (x + 1) (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.4

Développez $(x + 1) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x = x (x + 5) + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5) - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x = x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.5.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.5.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.5.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 5 x + x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.5.2

Additionnez $5 x$ et $x$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - \frac{1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (8 x^{2})$

Étape 3.3.1.6.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x^{2}$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Étape 3.3.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 + \frac{- 1}{x} (x (8 x))$

Étape 3.3.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - (8 x)$

Étape 3.3.1.7

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x^{2} - x = x^{2} + 6 x + 5 - 8 x$

Étape 3.3.2

Soustrayez $8 x$ de $6 x$ .

$x^{2} - x = x^{2} - 2 x + 5$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - x^{2} = - 2 x + 5$

Étape 4.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - x^{2} + 2 x = 5$

Étape 4.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x - x^{2} + 2 x$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x + 0 + 2 x = 5$

Étape 4.3.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$- x + 2 x = 5$

Étape 4.4

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$x = 5$