Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 18}{4 x^{3} + 12 x^{2} - 160 x}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 11 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 9, - 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x^{3} + 12 x^{2} - 160 x}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} + 12 x^{2} - 160 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x^{2}) + 12 x^{2} - 160 x}$

Étape 2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) - 160 x}$

Étape 2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $- 160 x$ .

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x^{2}) + 4 x (3 x) + 4 x (- 40)}$

Étape 2.1.4

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (3 x)$ .

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 40)}$

Étape 2.1.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2} + 3 x) + 4 x (- 40)$ .

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x^{2} + 3 x - 40)}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 3 x - 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 40$ et dont la somme est $3$ .

$- 5, 8$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x ((x - 5) (x + 8))}$

$\frac{x^{2} + 7 x - 8}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 7 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $7$ .

$- 1, 8$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x^{3} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 12 x^{2} + 35 x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x \cdot x^{2} - 12 x^{2} + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 12 x) + 35 x}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $35 x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 12 x) + x \cdot 35}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 12 x)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x (x^{2} - 12 x) + x \cdot 35}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 4.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 12 x) + x \cdot 35$ .

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x (x^{2} - 12 x + 35)}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - 12 x + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 7, - 5$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x ((x - 7) (x - 5))}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x (x - 7) (x - 5)}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x (x - 7) (x - 5)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x (x - 7) (x - 5)}{(x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 8)}{x - 7} \cdot \frac{x (x - 7) (x - 5)}{(x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 8}{x - 7} \cdot \frac{x (x - 7) (x - 5)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x - 7$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x - 7$ à partir de $x (x - 7) (x - 5)$ .

$\frac{x + 8}{x - 7} \cdot \frac{(x - 7) (x (x - 5))}{x - 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 8}{x - 7} \cdot \frac{(x - 7) (x (x - 5))}{x - 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 8) \cdot \frac{x (x - 5)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $x + 8$ à partir de $(x + 8) \cdot \frac{x (x - 5)}{x - 2}$ .

$(x + 8) (\frac{x (x - 5)}{x - 2}) \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5) (x + 8)}$

Étape 6.3.2

Factorisez $x + 8$ à partir de $4 x (x - 5) (x + 8)$ .

$(x + 8) (\frac{x (x - 5)}{x - 2}) \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{(x + 8) (4 x (x - 5))}$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun.

$(x + 8) \frac{x (x - 5)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{(x + 8) (4 x (x - 5))}$

Étape 6.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x - 5)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5)}$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{x (x - 5)}{x - 2}$ par $\frac{(x - 9) (x - 2)}{4 x (x - 5)}$ .

$\frac{x (x - 5) ((x - 9) (x - 2))}{(x - 2) (4 x (x - 5))}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 5) ((x - 9) (x - 2))}{(x - 2) (4 x (x - 5))}$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 5) ((x - 9) (x - 2))}{(x - 2) (4 (x - 5))}$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) ((x - 9) (x - 2))}{(x - 2) (4 (x - 5))}$

Étape 6.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 9) (x - 2)}{(x - 2) \cdot (4)}$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 6.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 9) (x - 2)}{(x - 2) \cdot 4}$

Étape 6.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 9}{4}$