Algèbre Exemples

$\frac{12 x + 6}{21 x^{2} - 21} \div \frac{6 x^{2} + 9 x + 3}{7 x^{3} - 7 x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{12 x + 6}{21 x^{2} - 21} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $12 x + 6$ et $21 x^{2} - 21$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$\frac{3 (4 x) + 6}{21 x^{2} - 21} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (4 x) + 3 (2)}{21 x^{2} - 21} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x) + 3 (2)$ .

$\frac{3 (4 x + 2)}{21 x^{2} - 21} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $21 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x + 2)}{3 (7 x^{2}) - 21} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 21$ .

$\frac{3 (4 x + 2)}{3 (7 x^{2}) + 3 (- 7)} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.1.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (7 x^{2}) + 3 (- 7)$ .

$\frac{3 (4 x + 2)}{3 (7 x^{2} - 7)} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x + 2)}{3 (7 x^{2} - 7)} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x + 2}{7 x^{2} - 7} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 2$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 2}{7 x^{2} - 7} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (1)}{7 x^{2} - 7} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 x^{2} - 7} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{2} - 7$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x^{2}) - 7} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 3.1.2

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x^{2}) + 7 (- 1)} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 3.1.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (x^{2}) + 7 (- 1)$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x^{2} - 1)} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x^{2} - 1^{2})} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{3} - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 4

Factorisez $7 x^{2}$ à partir de $7 x^{3} - 7 x^{2}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $7 x^{2}$ à partir de $7 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x) - 7 x^{2}}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 4.2

Factorisez $7 x^{2}$ à partir de $- 7 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x) + 7 x^{2} (- 1)}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 4.3

Factorisez $7 x^{2}$ à partir de $7 x^{2} (x) + 7 x^{2} (- 1)$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{6 x^{2} + 9 x + 3}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2} + 9 x + 3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2}) + 9 x + 3}$

Étape 5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9 x$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2}) + 3 (3 x) + 3}$

Étape 5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)}$

Étape 5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{2}) + 3 (3 x)$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2} + 3 x) + 3 (1)}$

Étape 5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2} + 3 x + 1)}$

Étape 5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2} + 3 (x) + 1)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez $3$ comme $1$ plus $2$

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2} + (1 + 2) x + 1)}$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1)}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x^{2} + x + 2 x + 1)}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 ((2 x^{2} + x) + 2 x + 1)}$

Étape 5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1))}$

Étape 5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 ((2 x + 1) (x + 1))}$

$\frac{2 (2 x + 1)}{7 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{7 x^{2} (x - 1)}{3 (2 x + 1) (x + 1)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez.

$\frac{2 (2 x + 1) (7 x^{2} (x - 1))}{7 (x + 1) (x - 1) (3 (2 x + 1) (x + 1))}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x + 1) (7 x^{2} (x - 1))}{7 (x + 1) (x - 1) (3 (2 x + 1) (x + 1))}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (7 x^{2} (x - 1))}{7 (x + 1) (x - 1) (3 (x + 1))}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (7 x^{2} (x - 1))}{7 (x + 1) (x - 1) (3 (x + 1))}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x^{2} (x - 1))}{((x + 1) (x - 1)) (3 (x + 1))}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{2} (x - 1))}{(x + 1) (x - 1) (3 (x + 1))}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x^{2})}{(x + 1) (3 (x + 1))}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 ({(x + 1)}^{1} (x + 1))}$

Étape 7.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1})}$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x + 1)}^{1 + 1}}$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3 {(x + 1)}^{2}}$