Algèbre Exemples

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

Étape 2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

Étape 2.1.2.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

Étape 2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

Étape 2.2

Réécrivez $\log (2 x - x^{2}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 x - x^{2} = 10^{1}$ .

$2 x - x^{2} = 10$

Étape 2.3.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

Étape 2.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 2$ et $c = - 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.3

Soustrayez $40$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (36)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.7

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

Étape 2.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (2 x - x^{2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x - x^{2} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x - x^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x - x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Étape 3.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Étape 3.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

Étape 3.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 3.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.5

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 3.2.5.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 3.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 3.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 3.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 3.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Étape 3.2.8.1.3

Le côté gauche $- 8$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 3.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

Étape 3.2.8.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 3.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

Étape 3.2.8.3.3

Le côté gauche $- 8$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 3.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 2$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, 2)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

Étape 5.3.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.3.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 2$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 2$

Notation d’intervalle :

$(0, 2)$

Étape 8