Algèbre Exemples

$y = x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x + \frac{1}{x} = y$ .

$x + \frac{1}{x} = y$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $x + \frac{1}{x} = y$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $x + \frac{1}{x} = y$ par $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x = y x$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x = y x$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{1}{x} x = y x$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 1 = y x$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $y x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 1 - y x = 0$

Étape 4.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - y$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{y \pm \sqrt{{(- y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot 1$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{{(- y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - y$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{(- y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.4.1.3.1

Multipliez $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.4.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{(- y + 2 \cdot 1) (- y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{(- y + 2) (- y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3.2

Multipliez $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.4.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{(- y + 2) (- y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{(- y + 2) (- y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{(- y + 2) (- y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{(- y + 2) (- y - 2)}}{2}$

Étape 4.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{y + \sqrt{(- y + 2) (- y - 2)}}{2}$

$x = \frac{y - \sqrt{(- y + 2) (- y - 2)}}{2}$

$x = \frac{y + \sqrt{(- y + 2) (- y - 2)}}{2}$

$x = \frac{y - \sqrt{(- y + 2) (- y - 2)}}{2}$