Algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ comme une équation.

$y = - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{2 y}{y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(y - 1) (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 1 x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y x - x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 y}{y - 1}$ dans le numérateur.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y x - x = - 2 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - x + 2 y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x + 2 y = x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + 2 y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) + 2 y = x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y (x) + y \cdot 2 = x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot 2$ .

$y (x + 2) = x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x + 2) = x$ par $x + 2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 2) = x$ par $x + 2$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{x + 2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- \frac{2 x}{x - 1}}{(- \frac{2 x}{x - 1}) + 2}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + 2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.3

Réécrivez $\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 2 (x - 1)$ .

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Étape 5.2.4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x) + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x + x - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 - 1)}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.3.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot - 1}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2}{x - 1}}$

Étape 5.2.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.2.5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Étape 5.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{1}{\frac{2}{x - 1}})$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- (1 (\frac{x - 1}{2})))$

Étape 5.2.7

Multipliez $\frac{x - 1}{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{x - 1}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Étape 5.2.8.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x - 1}{2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Étape 5.2.8.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Étape 5.2.8.4

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Étape 5.2.8.5

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot (- (x - 1))$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $- (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Étape 5.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Étape 5.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - x \cdot - 1$

Étape 5.2.10

Multipliez.

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Étape 5.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = 1 x$

Étape 5.2.10.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{x + 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{(\frac{x}{x + 2}) - 1}$

Étape 5.3.3

Associez $2$ et $\frac{x}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1 \cdot \frac{x + 2}{x + 2}}$

Étape 5.3.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} + \frac{- (x + 2)}{x + 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - (x + 2)}{x + 2}}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez $\frac{x - (x + 2)}{x + 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 1 \cdot 2}{x + 2}}$

Étape 5.3.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 2}{x + 2}}$

Étape 5.3.4.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 - 2}{x + 2}}$

Étape 5.3.4.4.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{- 2}{x + 2}}$

Étape 5.3.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{- \frac{2}{x + 2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 x}{x + 2} \cdot (- \frac{x + 2}{2}))$

Étape 5.3.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (- \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{x + 2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- 2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Étape 5.3.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Étape 5.3.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Étape 5.3.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{x + 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$