Algèbre Exemples

$\frac{- \sin^{2} (θ) + \sec^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Déplacez $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ)) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 1 \cdot 1 + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- 1^{2} + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1^{2}}{\tan (θ)}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sec (θ)$ et $b = 1$ .

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\sec (θ) - 1)}{\tan (θ)}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\sec (θ) - 1)}{\tan (θ)}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\tan (θ)}$

Étape 4

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 6

Développez $(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (θ)} (\frac{1}{\cos (θ)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$ .

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Étape 7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)}$ par $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$(\frac{1}{\cos (θ) \cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.1.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.1.3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\frac{1}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.2

Associez $\frac{1}{\cos (θ)}$ et $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{- 1}{\cos (θ)} + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)}$ par $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.2

Additionnez $- \frac{1}{\cos (θ)}$ et $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + 0 - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 7.3

Additionnez $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ et $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.2

Associez.

$\frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.3

Réécrivez $- 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ comme $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $\cos (θ)$ et $\cos^{2} (θ)$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $1 \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.2.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ) - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 9.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) \sec (θ) - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 9.4

Convertissez de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ à $\cot (θ)$ .

$\csc (θ) \sec (θ) - \cot (θ)$