Algèbre Exemples

${(x - 1)}^{2} = 6 - {(y + 4)}^{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez ${(y + 4)}^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + {(y + 4)}^{2} = 6$

Étape 1.2.4

Réécrivez ${(y + 4)}^{2}$ comme $(y + 4) (y + 4)$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + (y + 4) (y + 4) = 6$

Étape 1.2.5

Développez $(y + 4) (y + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x + 1 + y (y + 4) + 4 (y + 4) = 6$

Étape 1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x + 1 + y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4) = 6$

Étape 1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 2 x + 1 + y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Étape 1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Étape 1.2.6.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4 = 6$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 4 y + 4 y + 16 = 6$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $4 y$ et $4 y$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 8 y + 16 = 6$

Étape 1.3

Additionnez $1$ et $16$ .

$x^{2} - 2 x + y^{2} + 8 y + 17 = 6$

Étape 1.4

Déplacez $- 2 x$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 17 = 6$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas de variable du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $17$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = 6 - 17$

Étape 2.2

Soustrayez $17$ de $6$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 2 x$ par ${(x - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} + 8 y = - 11$

Étape 5

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + 8 y = - 11 + 1$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} + 8 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 6.3.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Divisez $64$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 4)}^{2} - 16$ .

${(y + 4)}^{2} - 16$

Étape 7

Remplacez $y^{2} + 8 y$ par ${(y + 4)}^{2} - 16$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y = - 11$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - 11 + 1$

Étape 8

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 11 + 1 + 16$

Étape 9

Simplifiez $- 11 + 1 + 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Additionnez $- 11$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - 10 + 16$

Étape 9.2

Additionnez $- 10$ et $16$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 6$