Algèbre Exemples

$\frac{5 a b}{a^{2} - b^{2}} - \frac{a - b}{a + b}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{5 a b}{(a + b) (a - b)} - \frac{a - b}{a + b}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{a - b}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{5 a b}{(a + b) (a - b)} - \frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{a - b}{a + b}$ par $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{5 a b}{(a + b) (a - b)} - \frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 a b - (a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a b + (- a - - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.2

Multipliez $- - b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 a b + (- a + 1 b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.2.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{5 a b + (- a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.3

Développez $(- a + b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a b - a (a - b) + b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a b - a \cdot a - a (- b) + b (a - b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a b - a \cdot a - a (- b) + b a + b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{5 a b - (a \cdot a) - a (- b) + b a + b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{5 a b - a^{2} - a (- b) + b a + b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 a b - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b + b a + b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 a b - a^{2} + 1 a b + b a + b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{5 a b - a^{2} + a b + b a + b (- b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 a b - a^{2} + a b + b a - b \cdot b}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.1.6

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1.6.1

Déplacez $b$ .

$\frac{5 a b - a^{2} + a b + b a - (b \cdot b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.1.6.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{5 a b - a^{2} + a b + b a - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{5 a b - a^{2} + a b + a b - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\frac{5 a b - a^{2} + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.5

Additionnez $5 a b$ et $2 a b$ .

$\frac{- a^{2} + 7 a b - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) + 7 a b - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $7 a b$ .

$\frac{- (a^{2}) - (- 7 a b) - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2}) - (- 7 a b)$ .

$\frac{- (a^{2} - 7 a b) - b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- b^{2}$ .

$\frac{- (a^{2} - 7 a b) - (b^{2})}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2} - 7 a b) - (b^{2})$ .

$\frac{- (a^{2} - 7 a b + b^{2})}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Réécrivez $- (a^{2} - 7 a b + b^{2})$ comme $- 1 (a^{2} - 7 a b + b^{2})$ .

$\frac{- 1 (a^{2} - 7 a b + b^{2})}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a^{2} - 7 a b + b^{2}}{(a + b) (a - b)}$