Algèbre Exemples

$y = \frac{1}{2} \cos (x + \frac{π}{2}) + 2$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 2$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminez la période de $\frac{\cos (x + \frac{π}{2})}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.1.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2

Déterminez la période de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$2 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{2}}{1}$

Étape 4.3

Divisez $- \frac{π}{2}$ par $1$ .

Déphasage : $- \frac{π}{2}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $2 π$

Déphasage : $- \frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ à gauche)

Décalage vertical : $2$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{\cos ((- \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Additionnez $- \frac{π}{2}$ et $\frac{π}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{\cos (0)}{2} + 2$

Étape 6.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{1}{2} + 2$

Étape 6.1.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.1.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{1 + 4}{2}$

Étape 6.1.2.6.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (- \frac{π}{2}) = \frac{5}{2}$

Étape 6.1.2.7

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{\cos ((0) + \frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $0$ et $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} + 2$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (0) = 0 + 2$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 6.2.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\cos ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\cos (\frac{π + π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.3.2.1.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\cos (π)}{2} + 2$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- \cos (0)}{2} + 2$

Étape 6.3.2.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2} + 2$

Étape 6.3.2.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1}{2} + 2$

Étape 6.3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

Étape 6.3.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.3.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.3.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

Étape 6.3.2.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{3}{2}$

Étape 6.3.2.7

La réponse finale est $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \frac{\cos ((π) + \frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \frac{\cos (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.4.2.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \frac{\cos (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (π) = \frac{\cos (\frac{π \cdot 2 + π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.4.2.4

Additionnez $π \cdot 2$ et $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$f (π) = \frac{\cos (\frac{2 \cdot π + π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.4.2.4.2

Additionnez $2 \cdot π$ et $π$ .

$f (π) = \frac{\cos (\frac{3 \cdot π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.4.2.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (π) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.4.2.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (π) = \frac{0}{2} + 2$

Étape 6.4.2.5.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (π) = 0 + 2$

Étape 6.4.2.6

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (π) = 2$

Étape 6.4.2.7

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos ((\frac{3 π}{2}) + \frac{π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{3 π + π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.5.2.1.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{4 π}{2})}{2} + 2$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{2 (2 π)}{2})}{2} + 2$

Étape 6.5.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})}{2} + 2$

Étape 6.5.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})}{2} + 2$

Étape 6.5.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{1})}{2} + 2$

Étape 6.5.2.2.1.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (2 π)}{2} + 2$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{\cos (0)}{2} + 2$

Étape 6.5.2.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} + 2$

Étape 6.5.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.5.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 6.5.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{1 + 4}{2}$

Étape 6.5.2.6.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{5}{2}$

Étape 6.5.2.7

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{2} & \frac{3}{2} \\ π & 2 \\ \frac{3 π}{2} & \frac{5}{2} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $2 π$

Déphasage : $- \frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ à gauche)

Décalage vertical : $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{2} & \frac{3}{2} \\ π & 2 \\ \frac{3 π}{2} & \frac{5}{2} \end{array}$

Étape 8