Algèbre Exemples

$F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$

Étape 1

Écrivez $F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$ comme une équation.

$y = x^{3} - \frac{5}{6}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{3} - \frac{5}{6}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{3} - \frac{5}{6} = x$ .

$y^{3} - \frac{5}{6} = x$

Étape 3.2

Ajoutez $\frac{5}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{3} = x + \frac{5}{6}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{x + \frac{5}{6}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{x + \frac{5}{6}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{x \cdot \frac{6}{6} + \frac{5}{6}}$

Étape 3.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.2.1

Associez $x$ et $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}}$

Étape 3.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x \cdot 6 + 5}{6}}$

Étape 3.4.3

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{6 x + 5}{6}}$

Étape 3.4.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{6 x + 5}{6}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$

Étape 3.4.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{6 x + 5}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Élevez $\sqrt[3]{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Étape 3.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ comme $6$ .

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Étape 3.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6}$ comme $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Étape 3.4.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Étape 3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.7.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Étape 3.4.7.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 x + 5} \sqrt[3]{36}}{6}$

Étape 3.4.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.4.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(6 x + 5) \cdot 36}}{6}$

Étape 3.4.8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(6 x + 5) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $F^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$

Étape 5

Vérifiez si $F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$ est l’inverse de $F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $F^{- 1} (F (x)) = x$ et $F (F^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $F^{- 1} (F (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$F^{- 1} (F (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6})$ en remplaçant la valeur de $F$ par $F^{- 1}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (x^{3} - \frac{5}{6}) + 5)}}{6}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Pour écrire $x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (x^{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{5}{6}) + 5)}}{6}$

Étape 5.2.3.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{6}{6}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{x^{3} \cdot 6}{6} - \frac{5}{6}) + 5)}}{6}$

Étape 5.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{x^{3} \cdot 6 - 5}{6}) + 5)}}{6}$

Étape 5.2.3.4

Déplacez $6$ à gauche de $x^{3}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{6 x^{3} - 5}{6}) + 5)}}{6}$

Étape 5.2.3.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 (\frac{6 x^{3} - 5}{6}) + 5)}}{6}$

Étape 5.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} - 5 + 5)}}{6}$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Étape 5.2.3.7

Additionnez $6 x^{3}$ et $0$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $36$ par $6$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.9

Réécrivez $216 x^{3}$ comme ${(6 x)}^{3}$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$F^{- 1} (x^{3} - \frac{5}{6}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $F (F^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$F (F^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6})$ en remplaçant la valeur de $F^{- 1}$ par $F$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = {(\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6})}^{3} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}^{3}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}^{3}$ comme $36 (6 x + 5)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}$ comme ${(36 (6 x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{({(36 (6 x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{(36 (6 x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{(36 (6 x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{{(36 (6 x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x) + 36 \cdot 5}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $6$ par $36$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{216 x + 36 \cdot 5}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.4

Multipliez $36$ par $5$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{216 x + 180}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $36$ à partir de $216 x + 180$ .

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Étape 5.3.3.2.5.1

Factorisez $36$ à partir de $216 x$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x) + 180}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.5.2

Factorisez $36$ à partir de $180$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x) + 36 (5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.2.5.3

Factorisez $36$ à partir de $36 (6 x) + 36 (5)$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{6^{3}} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{216} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{36 \cdot 6} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{36 (6 x + 5)}{36 \cdot 6} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x + 5}{6} - \frac{5}{6}$

Étape 5.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x + 5 - 5}{6}$

Étape 5.3.4.2

Associez les termes opposés dans $6 x + 5 - 5$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Étape 5.3.4.2.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.3.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$F (\frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}) = x$

Étape 5.4

Comme $F^{- 1} (F (x)) = x$ et $F (F^{- 1} (x)) = x$ , $F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$ est l’inverse de $F (x) = x^{3} - \frac{5}{6}$ .

$F^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x + 5)}}{6}$