Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x + y} < \sqrt{3 x - y - 1}$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{2 x + y}}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + y}$ comme ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Étape 1.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Étape 1.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + y)}^{1} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Étape 1.2.2.1.2

Simplifiez

$2 x + y < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$ comme $3 x - y - 1$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - y - 1}$ comme ${(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + y < {({(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{1}$

Étape 1.2.3.1.5

Simplifiez

$2 x + y < 3 x - y - 1$

Étape 1.3

Résolvez $y$ .

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Étape 1.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.3.1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x + y + y < 3 x - 1$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$2 x + 2 y < 3 x - 1$

Étape 1.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.3.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 y < 3 x - 1 - 2 x$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$2 y < x - 1$

Étape 1.3.3

Divisez chaque terme dans $2 y < x - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y < x - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 1.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 1.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2

Déterminez la pente et l’ordonnée à l’origine de la ligne séparatrice.

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Étape 2.1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 2.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 2.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Utilisez la forme affine pour déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine.

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Étape 2.2.1

Déterminez les valeurs de $m$ et $b$ en utilisant la formule $y = m x + b$ .

$m = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2

La pente de la droite est la valeur de $m$ et l’ordonnée à l’origine est la valeur de $b$ .

Pente : $\frac{1}{2}$

ordonnée à l’origine : $(0, - \frac{1}{2})$

Pente : $\frac{1}{2}$

ordonnée à l’origine : $(0, - \frac{1}{2})$

Pente : $\frac{1}{2}$

ordonnée à l’origine : $(0, - \frac{1}{2})$

Étape 3

Représentez une droite tiretée, puis ombrez la surface sous la ligne séparatrice étant donné que $y$ est inférieur à $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4