Algèbre Exemples

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}}{\frac{14 x^{2} - 22 x - 12}{x^{2} - 25}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 25}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 5^{2}}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $14 x^{2} - 22 x - 12$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14 x^{2}$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) - 22 x - 12}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 22 x$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) - 12}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (- 6)}$

Étape 3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)}$

Étape 3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x - 6)}$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 x$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 (x) - 6)}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $3$ plus $- 14$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + (3 - 14) x - 6)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + 3 x - 14 x - 6)}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x^{2} + 3 x) - 14 x - 6)}$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x (7 x + 3) - 2 (7 x + 3))}$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 x + 3$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x + 3) (x - 2))}$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 5 x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$(\frac{3}{x \cdot x + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$(\frac{3}{x \cdot x + x \cdot 5} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} + 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{3}{x (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x + 5) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{3}{x (x + 5)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $x (x + 5) (x + 1)$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 7.4

Réorganisez les facteurs de $(x + 1) (x + 5) x$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{x (x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x + 1) + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 9.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 x + 3 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 9.3

Additionnez $3 x$ et $4 x$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun de $7 x + 3$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $7 x + 3$ à partir de $2 (7 x + 3) (x - 2)$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Étape 10.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $x (x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 5}{2 (x - 2)}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{1}{x (x + 1)}$ par $\frac{x - 5}{2 (x - 2)}$ .

$\frac{x - 5}{x (x + 1) (2 (x - 2))}$

Étape 10.4

Déplacez $2$ à gauche de $x (x + 1)$ .

$\frac{x - 5}{2 x (x + 1) (x - 2)}$