Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ par $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(\sqrt{2} + \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{20} + \sqrt{20} - {\sqrt{10}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{2} - \sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1} {(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1}}{- 8}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{1 + 1}}{- 8}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}}{- 8}$

Étape 6

Réécrivez ${(\sqrt{2} - \sqrt{10})}^{2}$ comme $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ .

$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 7

Développez $(\sqrt{2} - \sqrt{10}) (\sqrt{2} - \sqrt{10})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} (\sqrt{2} - \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + \sqrt{2} (- \sqrt{10}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{10})$ .

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Étape 8.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{2 - \sqrt{20} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.6

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 8.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{2 - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} \sqrt{2} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.9

Multipliez $- \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

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Étape 8.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2 \cdot 10} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.9.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{20} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.10

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 8.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{10} (- \sqrt{10})}{- 8}$

Étape 8.1.13

Multipliez $- \sqrt{10} (- \sqrt{10})$ .

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Étape 8.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 1 \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Étape 8.1.13.2

Multipliez $\sqrt{10}$ par $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + \sqrt{10} \sqrt{10}}{- 8}$

Étape 8.1.13.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}{- 8}$

Étape 8.1.13.4

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}{- 8}$

Étape 8.1.13.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{- 8}$

Étape 8.1.13.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {\sqrt{10}}^{2}}{- 8}$

Étape 8.1.14

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 8.1.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 8}$

Étape 8.1.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 8}$

Étape 8.1.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Étape 8.1.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{\frac{2}{2}}}{- 8}$

Étape 8.1.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10^{1}}{- 8}$

Étape 8.1.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + 10}{- 8}$

Étape 8.2

Additionnez $2$ et $10$ .

$\frac{12 - 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5}}{- 8}$

Étape 8.3

Soustrayez $2 \sqrt{5}$ de $- 2 \sqrt{5}$ .

$\frac{12 - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $12 - 4 \sqrt{5}$ et $- 8$ .

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Étape 9.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 (3) - 4 \sqrt{5}}{- 8}$

Étape 9.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (3) + 4 (- \sqrt{5})}{- 8}$

Étape 9.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (3) + 4 (- \sqrt{5})$ .

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{- 8}$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 - \sqrt{5})}{4 \cdot - 2}$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.38196601 \dots$