Algèbre Exemples

$2 x^{4} + 32 x^{2} + 128 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$2 u^{2} + 32 u + 128 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{2} + 32 u + 128$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{2}$ .

$2 (u^{2}) + 32 u + 128 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $32 u$ .

$2 (u^{2}) + 2 (16 u) + 128 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $128$ .

$2 u^{2} + 2 (16 u) + 2 \cdot 64 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 u^{2} + 2 (16 u)$ .

$2 (u^{2} + 16 u) + 2 \cdot 64 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (u^{2} + 16 u) + 2 \cdot 64$ .

$2 (u^{2} + 16 u + 64) = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$2 (u^{2} + 16 u + 8^{2}) = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 u = 2 \cdot u \cdot 8$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 8$ .

$2 {(u + 8)}^{2} = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 {(u + 8)}^{2} = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 {(u + 8)}^{2} = 0$ par $2$ .

$\frac{2 {(u + 8)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(u + 8)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez ${(u + 8)}^{2}$ par $1$ .

${(u + 8)}^{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

${(u + 8)}^{2} = 0$

Étape 4

Définissez le $u + 8$ égal à $0$ .

$u + 8 = 0$

Étape 5

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 8$

Étape 6

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - 8$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Étape 7.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Étape 7.2.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Étape 7.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 7.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Étape 7.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Étape 7.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Étape 7.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$