Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{10} (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{10 \cdot 5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.3

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$\frac{\sqrt{25 (2)} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 2} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.5

Multipliez $\sqrt{10} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{10 \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.5.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{20} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.6

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{2} - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.9

Multipliez $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Étape 4.9.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.9.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.10

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{1} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.10.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.11

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 4.12

Multipliez $- \sqrt{5} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + 1 \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.12.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Étape 4.12.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{5 \cdot 2}}{3}$

Étape 4.12.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{10}}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{10}}{3}$

Forme décimale :

$0.25373650 \dots$