Algèbre Exemples

$\tan (x) \sin^{2} (x) = 3 \tan (x)$

Étape 1

Soustrayez $3 \tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (x) \sin^{2} (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin^{2} (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.2.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.2.1

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.2.2.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2}}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 3 \tan (x) = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - 3 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2.1.4

Associez $- 3$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2.2.4

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) \tan (x) - \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2.2.5

Séparez les fractions.

$\sin^{2} (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = 0$

Étape 2.2.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sin^{2} (x) \tan (x) - (\frac{3}{1} \cdot \tan (x)) = 0$

Étape 2.2.7

Divisez $3$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) \tan (x) - (3 \tan (x)) = 0$

Étape 2.2.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\sin^{2} (x) \tan (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \tan (x) - 3 \tan (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \tan (x)$ .

$\tan (x) \sin^{2} (x) - 3 \tan (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $- 3 \tan (x)$ .

$\tan (x) \sin^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 3 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) \sin^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 3$ .

$\tan (x) (\sin^{2} (x) - 3) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sin^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 5

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 5.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\sin^{2} (x) - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\sin^{2} (x) - 3$ égal à $0$ .

$\sin^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin^{2} (x) - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (x) = 3$

Étape 6.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 6.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \sqrt{3}$

Étape 6.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

Étape 6.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 6.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \sqrt{3}$

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

Étape 6.2.5

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 6.2.5.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\sqrt{3}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6.2.6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 6.2.6.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \sqrt{3}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (\sin^{2} (x) - 3) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$