Algèbre Exemples

$\log_{2} (4 x) - \log_{2} (x - 5) = \log_{2} (8)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = \log_{2} (8)$

Étape 2

La base logarithmique $2$ de $8$ est $3$ .

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Étape 2.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{2} (8) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{2} (8) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Étape 2.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{3}$

Étape 2.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 2.5

La variable $x$ est égale à $3$ .

$\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = 3$

Étape 3

Réécrivez $\log_{2} (\frac{4 x}{x - 5}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{4 x}{x - 5}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$4 x = 2^{3} (x - 5)$

Étape 5

Simplifiez $2^{3} (x - 5)$ .

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Étape 5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 x = 8 (x - 5)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x = 8 x + 8 \cdot - 5$

Étape 5.3

Multipliez $8$ par $- 5$ .

$4 x = 8 x - 40$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 8 x = - 40$

Étape 6.2

Soustrayez $8 x$ de $4 x$ .

$- 4 x = - 40$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 40$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 40$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 4}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 40$ par $- 4$ .

$x = 10$