Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{600 x - 6 x^{3}}{5 - x}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $600 x - 6 x^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $600 x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (100) - 6 x^{3}}{5 - x}$

Étape 1.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x^{3}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (100) + 6 x (- x^{2})}{5 - x}$

Étape 1.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (100) + 6 x (- x^{2})$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (100 - x^{2})}{5 - x}$

Étape 1.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10^{2} - x^{2})}{5 - x}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 10$ et $b = x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 5 x - 50} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 5 x - 50$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 50$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 10, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x}{(x - 10) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2 x}{(x - 10) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{2 x}{(x - 10) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x - 10) (x + 5)$ .

$\frac{2 x}{(x + 5) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{(x + 5) (x - 10)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x}{x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 10} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 x}{x - 10}$ par $\frac{x - 5}{x + 10}$ .

$\frac{2 x (x - 5)}{(x - 10) (x + 10)} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$

Étape 5

Multipliez $\frac{2 x (x - 5)}{(x - 10) (x + 10)} \cdot \frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{2 x (x - 5)}{(x - 10) (x + 10)}$ par $\frac{6 x (10 + x) (10 - x)}{5 - x}$ .

$\frac{2 x (x - 5) (6 x (10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 5.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 x (x - 5) ((x (10 + x)) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (x^{1} x) (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 (x^{1} x^{1}) (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 x^{1 + 1} (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 x^{2} (x - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $x - 5$ et $5 - x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x) - 5) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 6.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x) - 1 (5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x + 5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (5 - x)}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x + 5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (- x + 5)}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2} (- 1 (- x + 5)) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10) (- x + 5)}$

Étape 6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) ((10 + x) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $10 + x$ et $x + 10$ .

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) ((x + 10) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) ((x + 10) (10 - x))}{(x - 10) (x + 10)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (10 - x)}{x - 10}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $10 - x$ et $x - 10$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (- 1 (- 10) - x)}{x - 10}$

Étape 8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (- 1 (- 10) - (x))}{x - 10}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 10) - (x)$ .

$\frac{12 x^{2} \cdot (- 1) (- 1 (- 10 + x))}{x - 10}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12 x^{2} \cdot - 1 (- 1 (x - 10))}{x - 10}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2} \cdot - 1 (- 1 (x - 10))}{x - 10}$

Étape 8.6

Divisez $12 x^{2} \cdot - 1 \cdot (- 1)$ par $1$ .

$12 x^{2} \cdot - 1 \cdot (- 1)$

Étape 9

Multipliez.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 12 x^{2} \cdot - 1$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$12 x^{2}$