Algèbre Exemples

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2}$

Étape 1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x y$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x)}^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 2^{2} x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ comme $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = (x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$

Étape 3.2

Développez $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}$

Étape 3.3.1.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}$

Étape 3.3.2

Additionnez $x^{2} y^{2}$ et $y^{2} x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $x^{2}$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $x^{2} y^{2}$ et $x^{2} y^{2}$ .

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} = 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$

Étape 4.2

Soustrayez $2 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Réécrivez ${(x^{2} - y^{2})}^{2}$ comme $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ .

$(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.2

Développez $(x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (x^{2} - y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} (x^{2} - y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- y^{2}) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.4.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2}) + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.1.6

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - y^{2} x^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.2

Soustrayez $y^{2} x^{2}$ de $- x^{2} y^{2}$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x^{4} - x^{2} y^{2} - 1 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.3.3.2.2

Soustrayez $x^{2} y^{2}$ de $- x^{2} y^{2}$ .

$x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.4

Associez les termes opposés dans $x^{4} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4} - 2 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} + 0 - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.4.2

Additionnez $- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.5

Additionnez $- 2 x^{2} y^{2}$ et $4 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2} = y^{4}$

Étape 4.6

Associez les termes opposés dans $y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 4.6.1

Soustrayez $2 x^{2} y^{2}$ de $2 x^{2} y^{2}$ .

$y^{4} + 0 = y^{4}$

Étape 4.6.2

Additionnez $y^{4}$ et $0$ .

$y^{4} = y^{4}$

Étape 5

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| y | = | y |$

Étape 6

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$y = y$

$y = - y$

$- y = y$

$- y = - y$

Étape 7

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$y = y$

$y = - y$

Étape 8

Résolvez $y = y$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y - y = 0$

Étape 8.1.2

Soustrayez $y$ de $y$ .

$0 = 0$

Étape 8.2

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 9

Résolvez $y = - y$ pour $y$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$y + y = 0$

Étape 9.1.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$2 y = 0$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 0$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$y = 0$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0$

Étape 11

La variable $x$ a été annulée.

Tous les nombres réels

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$