Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x}{x - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{x}{x - 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x - x (x + 1)$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x (x + 1)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- (x + 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- (x + 1))$ .

$\frac{x (1 - (x + 1))}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 - x - 1 \cdot 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (1 - x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x (- x + 0)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.5

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{x \cdot - 1 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6

Associez les exposants.

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Étape 5.6.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (x \cdot x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (x^{1} x)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (x^{1} x^{1})}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{1 + 1}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$