Algèbre Exemples

$y = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} = x$ .

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $1 + \sqrt{y}$ .

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} (1 + \sqrt{y}) = x (1 + \sqrt{y})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + \sqrt{y}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} (1 + \sqrt{y}) = x (1 + \sqrt{y})$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - \sqrt{y} = x (1 + \sqrt{y})$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $x (1 + \sqrt{y})$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - \sqrt{y} = x \cdot 1 + x \sqrt{y}$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 - \sqrt{y} = x + x \sqrt{y}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Résolvez $\sqrt{y}$ .

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Étape 2.4.1.1

Soustrayez $x \sqrt{y}$ des deux côtés de l’équation.

$1 - \sqrt{y} - x \sqrt{y} = x$

Étape 2.4.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sqrt{y} - x \sqrt{y} = x - 1$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $\sqrt{y}$ à partir de $- \sqrt{y} - x \sqrt{y}$ .

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Étape 2.4.1.3.1

Factorisez $\sqrt{y}$ à partir de $- \sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \cdot - 1 - x \sqrt{y} = x - 1$

Étape 2.4.1.3.2

Factorisez $\sqrt{y}$ à partir de $- x \sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \cdot - 1 + \sqrt{y} (- x) = x - 1$

Étape 2.4.1.3.3

Factorisez $\sqrt{y}$ à partir de $\sqrt{y} \cdot - 1 + \sqrt{y} (- x)$ .

$\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$

Étape 2.4.1.4

Divisez chaque terme dans $\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$ par $- 1 - x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$ par $- 1 - x$ .

$\frac{\sqrt{y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Étape 2.4.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1 - x$ .

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Étape 2.4.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Étape 2.4.1.4.2.1.2

Divisez $\sqrt{y}$ par $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Étape 2.4.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Étape 2.4.1.4.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Étape 2.4.1.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Étape 2.4.1.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Étape 2.4.1.4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Étape 2.4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Étape 2.4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Étape 2.4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Étape 2.4.3.2.1.2

Simplifiez

$y = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Étape 2.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.3.1

Simplifiez ${(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{x - 1}{1 + x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Étape 2.4.3.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 1}{1 + x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.4.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.4.3.3.1.3

Multipliez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{((\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) - 1)}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{((\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) - 1)}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{- (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{1 - \sqrt{x} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - x^{\frac{1}{2}} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - x^{\frac{1}{2}} - (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.4.3

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{- 2 u}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.4.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{{(- 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.6.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{{(- 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.6.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.4.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.6.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.6.4

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.7

Réécrivez ${(1 + \sqrt{x})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.8

Développez $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 (1 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.4.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.9.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.2

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.3

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.4

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 4.2.4.9.1.4.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.4.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.4.9.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.9.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.1.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.9.2

Additionnez $\sqrt{x}$ et $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{1 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.5.3

Réécrivez $\frac{1 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.5.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2 + \sqrt{x} - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.5.3.2

Soustrayez $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2 + 0}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.5.3.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Étape 4.2.5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{2^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}$

Étape 4.2.5.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}$

Étape 4.2.5.6

Réécrivez ${(1 + \sqrt{x})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}}$

Étape 4.2.5.7

Développez $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 (1 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}$

Étape 4.2.5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}$

Étape 4.2.5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Étape 4.2.5.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.5.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.5.8.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Étape 4.2.5.8.1.2

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Étape 4.2.5.8.1.3

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Étape 4.2.5.8.1.4

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 4.2.5.8.1.4.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Étape 4.2.5.8.1.4.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Étape 4.2.5.8.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}}}$

Étape 4.2.5.8.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}}}$

Étape 4.2.5.8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.5.8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 4.2.5.8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 4.2.5.8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 4.2.5.8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 4.2.5.8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}$

Étape 4.2.5.8.1.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}$

Étape 4.2.5.8.2

Additionnez $\sqrt{x}$ et $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}$

Étape 4.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 (x)}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Étape 4.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Étape 4.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot (1 + 2 \sqrt{x} + x)$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $1 + 2 \sqrt{x} + x$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot (1 + 2 \sqrt{x} + x)$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Réécrivez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ comme ${(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \sqrt{{(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.6

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Réécrivez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ comme ${(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \sqrt{{(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.6.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x + 0}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.6.3

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x}{x + 1}}$

Étape 4.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 x}$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 (x)}$

Étape 4.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 x}$

Étape 4.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$