Algèbre Exemples

$\frac{\frac{1}{y} + \frac{1}{x y}}{1 + \frac{1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 1

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}}{1 + \frac{1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{y x} + \frac{1}{x y}}{1 + \frac{1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 2.2

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{\frac{x}{x y} + \frac{1}{x y}}{1 + \frac{1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x + 1}{x y}}{1 + \frac{1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x + 1}{x y} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x + 1}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x y}{x y} + \frac{1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 1}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x y + 1}{x y}} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x + 1}{x y} (1 \frac{x y}{x y + 1}) + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{x y}{x y + 1}$ par $1$ .

$\frac{x + 1}{x y} \cdot \frac{x y}{x y + 1} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x y} \cdot \frac{x y}{x y + 1} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) \frac{1}{x y + 1} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.6

Multipliez $x + 1$ par $\frac{1}{x y + 1}$ .

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.7

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x$ .

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x}{x} \cdot \frac{y + 1}{y + \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.7.2

Associez.

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x (y + 1)}{x (y + \frac{1}{x})} - 1$

Étape 4.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x y + x \cdot 1}{x y + x \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x y + x \cdot 1}{x y + x \frac{1}{x}} - 1$

Étape 4.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x y + x \cdot 1}{x y + 1} - 1$

Étape 4.10

Factorisez $x$ à partir de $x y + x \cdot 1$ .

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Étape 4.10.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x (y) + x \cdot 1}{x y + 1} - 1$

Étape 4.10.2

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1$ .

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x (y) + x (1)}{x y + 1} - 1$

Étape 4.10.3

Factorisez $x$ à partir de $x (y) + x (1)$ .

$\frac{x + 1}{x y + 1} + \frac{x (y + 1)}{x y + 1} - 1$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 1 + \frac{x + 1 + x (y + 1)}{x y + 1}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 + \frac{x + 1 + x y + x \cdot 1}{x y + 1}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 1 + \frac{x + 1 + x y + x}{x y + 1}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$- 1 + \frac{2 x + 1 + x y}{x y + 1}$

Étape 7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.1

Déplacez $1$ .

$- 1 + \frac{2 x + x y + 1}{x y + 1}$

Étape 7.2.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $x y$ .

$- 1 + \frac{x y + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x y + 1}{x y + 1}$ .

$- 1 \cdot \frac{x y + 1}{x y + 1} + \frac{x y + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Associez $- 1$ et $\frac{x y + 1}{x y + 1}$ .

$\frac{- (x y + 1)}{x y + 1} + \frac{x y + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (x y + 1) + x y + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (x y) - 1 \cdot 1 + x y + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- x y - 1 + x y + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 10.3

Additionnez $- x y$ et $x y$ .

$\frac{0 - 1 + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 10.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 + 2 x + 1}{x y + 1}$

Étape 10.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{2 x + 0}{x y + 1}$

Étape 10.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 x}{x y + 1}$