Algèbre Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \log_{2} (9 x^{16}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \log_{2} (9 x^{16})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log_{2} ({(9 x^{16})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $9 x^{16}$ .

$\log_{2} (9^{\frac{1}{2}} {(x^{16})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\log_{2} ({(3^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{16})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (3^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{16})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3^{2 (\frac{1}{2})} {(x^{16})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (3^{1} {(x^{16})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.6

Évaluez l’exposant.

$\log_{2} (3 {(x^{16})}^{\frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{16})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (3 x^{16 (\frac{1}{2})}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\log_{2} (3 x^{2 (8) \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3 x^{2 \cdot 8 \frac{1}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (3 x^{8}) - \frac{2}{3} \cdot \log_{2} (8 x^{3})$

Étape 1.8

Multipliez $- \frac{2}{3} \log_{2} (8 x^{3})$ .

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Étape 1.8.1

Remettez dans l’ordre $\log_{2} (8 x^{3})$ et $\frac{2}{3}$ .

$\log_{2} (3 x^{8}) - (\frac{2}{3} \log_{2} (8 x^{3}))$

Étape 1.8.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \log_{2} (8 x^{3})$ en déplaçant $\frac{2}{3}$ dans le logarithme.

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} ({(8 x^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.9

Appliquez la règle de produit à $8 x^{3}$ .

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (8^{\frac{2}{3}} {(x^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.10

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} ({(2^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (2^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.12.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (2^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.12.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (2^{2} {(x^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (4 {(x^{3})}^{\frac{2}{3}})$

Étape 1.14

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.14.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (4 x^{3 (\frac{2}{3})})$

Étape 1.14.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (4 x^{3 (\frac{2}{3})})$

Étape 1.14.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (3 x^{8}) - \log_{2} (4 x^{2})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{8}}{4 x^{2}})$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $x^{8}$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{8}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} (3 x^{6})}{4 x^{2}})$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} (3 x^{6})}{x^{2} \cdot 4})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{x^{2} (3 x^{6})}{x^{2} \cdot 4})$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{3 x^{6}}{4})$