Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x - 5}{2 x - 5}}{\frac{x - 5}{2 x - 5} - \frac{x + 2}{x - 5}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x - 5}{2 x - 5} - \frac{x + 2}{x - 5}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x - 5}{2 x - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{x + 2}{x - 5}}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{x + 2}{x - 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x - 5}{2 x - 5}$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{x + 2}{x - 5} \cdot \frac{2 x - 5}{2 x - 5}}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x - 5) (x - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x - 5}{2 x - 5}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 5) (x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)} - \frac{x + 2}{x - 5} \cdot \frac{2 x - 5}{2 x - 5}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x + 2}{x - 5}$ par $\frac{2 x - 5}{2 x - 5}$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 5) (x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)} - \frac{(x + 2) (2 x - 5)}{(x - 5) (2 x - 5)}}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 5) (2 x - 5)$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 5) (x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)} - \frac{(x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 5) (x - 5) - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{(x - 5) (x - 5) - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}$ en forme factorisée.

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Étape 2.5.1

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 5) - 5 (x - 5) - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5) - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.2.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5 - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 5 x - 5 x + 25 - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - (x + 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 + (- x - 2) (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.5

Développez $(- x - 2) (2 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - x (2 x - 5) - 2 (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x - 5)}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 2 x^{2} + 5 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 2 x^{2} + 5 x - 4 x - 2 \cdot - 5}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 2 x^{2} + 5 x - 4 x + 10}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.6.2

Soustrayez $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 10 x + 25 - 2 x^{2} + x + 10}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{- x^{2} - 10 x + 25 + x + 10}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.8

Additionnez $- 10 x$ et $x$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{- x^{2} - 9 x + 25 + 10}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 2.5.9

Additionnez $25$ et $10$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{1}{\frac{- x^{2} - 9 x + 35}{(2 x - 5) (x - 5)}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} (1 \frac{(2 x - 5) (x - 5)}{- x^{2} - 9 x + 35})$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{(2 x - 5) (x - 5)}{- x^{2} - 9 x + 35}$ par $1$ .

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{(2 x - 5) (x - 5)}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2 x - 5$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 5}{2 x - 5} \cdot \frac{(2 x - 5) (x - 5)}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$(x - 5) \frac{x - 5}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 4.3

Multipliez $x - 5$ par $\frac{x - 5}{- x^{2} - 9 x + 35}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 5)}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 5.2

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 5)}^{1 + 1}}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{- x^{2} - 9 x + 35}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{- (x^{2}) - 9 x + 35}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{- (x^{2}) - (9 x) + 35}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (9 x)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{- (x^{2} + 9 x) + 35}$

Étape 6.4

Réécrivez $35$ comme $- 1 (- 35)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{- (x^{2} + 9 x) - 1 (- 35)}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 9 x) - 1 (- 35)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{- (x^{2} + 9 x - 35)}$

Étape 6.6

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 6.6.1

Réécrivez $- (x^{2} + 9 x - 35)$ comme $- 1 (x^{2} + 9 x - 35)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{- 1 (x^{2} + 9 x - 35)}$

Étape 6.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(x - 5)}^{2}}{x^{2} + 9 x - 35}$