Algèbre Exemples

$\ln (x - 6) = 2 \ln (2) - \ln (10 - x)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \ln (2) - \ln (10 - x)$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x - 6) = \ln (2^{2}) - \ln (10 - x)$

Étape 1.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\ln (x - 6) = \ln (4) - \ln (10 - x)$

Étape 1.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x - 6) = \ln (\frac{4}{10 - x})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x - 6 = \frac{4}{10 - x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{4}{10 - x} + 6$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 10 - x, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$1, 10 - x, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$10 - x$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{4}{10 - x} + 6$ par $10 - x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{4}{10 - x} + 6$ par $10 - x$ .

$x (10 - x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 10 + x (- x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$10 \cdot x + x (- x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$10 \cdot x - x \cdot x = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.2.1

Déplacez $x$ .

$10 x - (x \cdot x) = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$10 x - x^{2} = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $10 - x$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$10 x - x^{2} = \frac{4}{10 - x} (10 - x) + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$10 x - x^{2} = 4 + 6 (10 - x)$

Étape 3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$10 x - x^{2} = 4 + 6 \cdot 10 + 6 (- x)$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $6$ par $10$ .

$10 x - x^{2} = 4 + 60 + 6 (- x)$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$10 x - x^{2} = 4 + 60 - 6 x$

Étape 3.3.3.2

Additionnez $4$ et $60$ .

$10 x - x^{2} = 64 - 6 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Ajoutez $6 x$ aux deux côtés de l’équation.

$10 x - x^{2} + 6 x = 64$

Étape 3.4.1.2

Additionnez $10 x$ et $6 x$ .

$- x^{2} + 16 x = 64$

Étape 3.4.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 16 x - 64 = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 16 x - 64$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 16 x - 64 = 0$

Étape 3.4.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $16 x$ .

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 64 = 0$

Étape 3.4.3.1.3

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$- (x^{2}) - (- 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Étape 3.4.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 16 x)$ .

$- (x^{2} - 16 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Étape 3.4.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 16 x) - 1 (64)$ .

$- (x^{2} - 16 x + 64) = 0$

Étape 3.4.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.3.2.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$- (x^{2} - 16 x + 8^{2}) = 0$

Étape 3.4.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Étape 3.4.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Étape 3.4.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 8$ .

$- {(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $- {(x - 8)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- {(x - 8)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 8)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 8)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.4.4.2.2

Divisez ${(x - 8)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 8)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} = 0$

Étape 3.4.5

Définissez le $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 3.4.6

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$