Algèbre Exemples

$6 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$6 (- \cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{3 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \frac{- \sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 2

Associez $6$ et $\frac{- \sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{6 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 (1)} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 \cdot 1} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{1} \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3.2

Divisez $3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})$ par $1$ .

$3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \div 2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 4

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Multipliez $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Multipliez $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4} + \frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 (- \sqrt{2}) + 3 (i \sqrt{2})) \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(- 3 \sqrt{2} + 3 (i \sqrt{2})) \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.4

Multipliez $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i \sqrt{2} \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.5

Multipliez $3 i \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 \cdot 2^{1} + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6 + 3 i {\sqrt{2}}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 + 3 i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2^{1} + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 6 + 3 i \cdot 2 + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- 6 + 6 i + 3 (- \sqrt{2} + i \sqrt{2}) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 + 6 i + (3 (- \sqrt{2}) + 3 (i \sqrt{2})) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 6 + 6 i + (- 3 \sqrt{2} + 3 (i \sqrt{2})) (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \sqrt{2} (i \sqrt{2}) + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.10

Multipliez $- 3 \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.10.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.10.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1} i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.11

Multipliez $3 i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.11.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 (i^{1} i) \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 10.11.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 10.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 10.11.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 10.11.5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{4}$

Étape 10.11.6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{4}$

Étape 10.11.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 10.11.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2^{1} i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 6 + 6 i - 3 \cdot 2 i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i + 3 i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i + 3 \cdot - 1 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 10.12.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 10.12.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 10.12.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 10.12.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 10.12.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2^{1}}{4}$

Étape 10.12.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 10.12.6

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6 + 6 i - 6 i - 6}{4}$

Étape 11

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Soustrayez $6$ de $- 6$ .

$\frac{- 12 + 6 i - 6 i}{4}$

Étape 11.2

Soustrayez $6 i$ de $6 i$ .

$\frac{- 12 + 0}{4}$

Étape 11.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Additionnez $- 12$ et $0$ .

$\frac{- 12}{4}$

Étape 11.3.2

Divisez $- 12$ par $4$ .

$- 3$