Algèbre Exemples

$x^{2} y - 4 x^{2} - 5 x - 9 y - 6 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $4 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} y - 5 x - 9 y - 6 = 4 x^{2}$

Étape 1.2

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} y - 9 y - 6 = 4 x^{2} + 5 x$

Étape 1.3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} y - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Étape 2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y - 9 y$ .

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Étape 2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$y x^{2} - 9 y = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Étape 2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 9 y$ .

$y x^{2} + y \cdot - 9 = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Étape 2.3

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2} + y \cdot - 9$ .

$y (x^{2} - 9) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Étape 3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y (x^{2} - 3^{2}) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$y ((x + 3) (x - 3)) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ par $(x + 3) (x - 3)$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) (x - 3) = 4 x^{2} + 5 x + 6$ par $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{5 x}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 6

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x^{2}}{(x + 3) (x - 3)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 7.2

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 3, - 3}$

Étape 9

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

Étape 10

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq 3, - 3}$

Plage : $(- \infty, \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}] \cup [\frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}, \infty), {y | y \leq \frac{10 - 3 \sqrt{19}}{6}, y \geq \frac{10 + 3 \sqrt{19}}{6}}$

Étape 11