Algèbre Exemples

${(\frac{5}{9})}^{5 x - 9} = {(\frac{9}{5})}^{9 x - 5}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{5}{9})}^{5 x - 9}) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{5}{9})}^{5 x - 9})$ en déplaçant $5 x - 9$ hors du logarithme.

$(5 x - 9) \ln (\frac{5}{9}) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{5}{9})$ comme $\ln (5) - \ln (9)$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - \ln (9)) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (9)$ comme $\ln (3^{2})$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - \ln (3^{2})) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Étape 5

Développez $\ln (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$(5 x - 9) (\ln (5) - (2 \ln (3))) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = \ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$

Étape 7

Développez $\ln ({(\frac{9}{5})}^{9 x - 5})$ en déplaçant $9 x - 5$ hors du logarithme.

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) \ln (\frac{9}{5})$

Étape 8

Réécrivez $\ln (\frac{9}{5})$ comme $\ln (9) - \ln (5)$ .

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3))$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.1.3

Développez $(5 x - 9) (\ln (5) - 2 \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x (\ln (5) - 2 \ln (3)) - 9 (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (5) + 5 x (- 2 \ln (3)) - 9 (\ln (5) - 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (5) + 5 x (- 2 \ln (3)) - 9 \ln (5) - 9 (- 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \ln (5) + 5 \cdot - 2 x \ln (3) - 9 \ln (5) - 9 (- 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) - 9 (- 2 \ln (3)) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = (9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.2

Simplifiez $(9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$ .

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Étape 9.2.1

Développez $(9 x - 5) (\ln (9) - \ln (5))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x (\ln (9) - \ln (5)) - 5 (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) + 9 x (- \ln (5)) - 5 (\ln (9) - \ln (5))$

Étape 9.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) + 9 x (- \ln (5)) - 5 \ln (9) - 5 (- \ln (5))$

Étape 9.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) + 9 \cdot - 1 x \ln (5) - 5 \ln (9) - 5 (- \ln (5))$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) - 9 x \ln (5) - 5 \ln (9) - 5 (- \ln (5))$

Étape 9.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) = 9 x \ln (9) - 9 x \ln (5) - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $9 x \ln (9)$ des deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) = - 9 x \ln (5) - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Étape 9.3.2

Ajoutez $9 x \ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (5) - 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) + 9 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Étape 9.3.3

Additionnez $5 x \ln (5)$ et $9 x \ln (5)$ .

$- 10 x \ln (3) - 9 \ln (5) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5)$

Étape 9.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.4.1

Ajoutez $9 \ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 10 x \ln (3) + 18 \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5) + 9 \ln (5)$

Étape 9.4.2

Soustrayez $18 \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$- 10 x \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 5 \ln (5) + 9 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Étape 9.4.3

Additionnez $5 \ln (5)$ et $9 \ln (5)$ .

$- 10 x \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Étape 9.5

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x \ln (3) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5)$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x \ln (3)$ .

$x (- 10 \ln (3)) - 9 x \ln (9) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Étape 9.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x \ln (9)$ .

$x (- 10 \ln (3)) + x (- 9 \ln (9)) + 14 x \ln (5) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Étape 9.5.3

Factorisez $x$ à partir de $14 x \ln (5)$ .

$x (- 10 \ln (3)) + x (- 9 \ln (9)) + x (14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Étape 9.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 10 \ln (3)) + x (- 9 \ln (9))$ .

$x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9)) + x (14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Étape 9.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9)) + x (14 \ln (5))$ .

$x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$

Étape 9.6

Divisez chaque terme dans $x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$ par $- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 9.6.1

Divisez chaque terme dans $x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)) = - 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)$ par $- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)$ .

$\frac{x (- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} = \frac{- 5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{- 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)$ .

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Étape 9.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 9.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{- 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{- 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 \ln (9)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} + \frac{14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} - \frac{18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.6.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 5 \ln (9) + 14 \ln (5)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)} - \frac{18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 5 \ln (9) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \ln (9)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9)) + 14 \ln (5) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $14 \ln (5)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9)) - (- 14 \ln (5)) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 \ln (9)) - (- 14 \ln (5))$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9) - 14 \ln (5)) - 18 \ln (3)}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 18 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9) - 14 \ln (5)) - (18 \ln (3))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 \ln (9) - 14 \ln (5)) - (18 \ln (3))$ .

$x = \frac{- (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.8

Réécrivez $- (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))$ comme $- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 10 \ln (3) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 \ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3)) - 9 \ln (9) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 \ln (9)$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3)) - (9 \ln (9)) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 \ln (3)) - (9 \ln (9))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3) + 9 \ln (9)) + 14 \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $14 \ln (5)$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3) + 9 \ln (9)) - (- 14 \ln (5))}$

Étape 9.6.3.2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 \ln (3) + 9 \ln (9)) - (- 14 \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))}$

Étape 9.6.3.2.14

Réécrivez $- (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))$ comme $- 1 (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))$ .

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 1 (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))}$

Étape 9.6.3.2.15

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 1 (5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3))}{- 1 (10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5))}$

Étape 9.6.3.2.16

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3)}{10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5 \ln (9) - 14 \ln (5) + 18 \ln (3)}{10 \ln (3) + 9 \ln (9) - 14 \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 1$