Algèbre Exemples

$\sin (x) - 1 = 0$ on $0 \leq x < 2 π$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = 1$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 5

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 8.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 8.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 8.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$