Algèbre Exemples

$12 x^{\frac{7}{2}} - 108 x^{3} = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{3}$ présent dans chaque terme.

$12 {(x^{3})}^{\frac{7}{6}} - 108 x^{3}$

Étape 2

Remplacez $x^{3}$ par $u$ .

$12 {(u)}^{\frac{7}{6}} - 108 u = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez $12 u$ à partir de $12 u^{\frac{7}{6}} - 108 u$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $12 u$ à partir de $12 u^{\frac{7}{6}}$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) - 108 u = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $12 u$ à partir de $- 108 u$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $12 u$ à partir de $12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9)$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Étape 3.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 3.4

Définissez $u^{\frac{1}{6}} - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u^{\frac{1}{6}} - 9$ égal à $0$ .

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{1}{6}} = 9$

Étape 3.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $6$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{1}{6}})}^{6} = 9^{6}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Simplifiez ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 9^{6}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$u = 9^{6}$

Étape 3.4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.2.1

Élevez $9$ à la puissance $6$ .

$u = 531441$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$ vraie.

$u = 0, 531441$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{3} = 0, 531441$

Étape 5

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Résolvez $x^{3} = 531441$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $531441$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 531441 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $531441$ comme $81^{3}$ .

$x^{3} - 81^{3} = 0$

Étape 6.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 81$ .

$(x - 81) (x^{2} + x \cdot 81 + 81^{2}) = 0$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $81$ à gauche de $x$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 81^{2}) = 0$

Étape 6.2.3.2

Élevez $81$ à la puissance $2$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 81 = 0$

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x - 81$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x - 81$ égal à $0$ .

$x - 81 = 0$

Étape 6.4.2

Ajoutez $81$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 81$

Étape 6.5

Définissez $x^{2} + 81 x + 6561$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2} + 81 x + 6561$ égal à $0$ .

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} + 81 x + 6561 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 81$ et $c = 6561$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6561)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez

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Étape 6.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Élevez $81$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 1 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6561$ .

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Étape 6.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 26244}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.3

Soustrayez $26244$ de $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 19683}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 19683$ comme $- 1 (19683)$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19683}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19683)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.7

Réécrivez $19683$ comme $81^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.5.2.3.1.7.1

Factorisez $6561$ à partir de $19683$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{6561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $6561$ comme $81^{2}$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{81^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot (81 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.9

Déplacez $81$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$ vraie.

$x = 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$