Algèbre Exemples

$\tan (x) > - 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x > \arctan (- 1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Étape 3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\tan (x) + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (2) > - 1$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 2.18503986$ n’est pas supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (4) > - 1$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $1.15782128$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (5) > - 1$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 3.380515$ n’est pas supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Faux

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}$ Faux

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{4}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{3 π}{4} + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13