Algèbre Exemples

$\frac{1}{8 x^{6}} + \frac{y^{3}}{216}$

Étape 1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{8 x^{6}} + \frac{y^{3}}{216}$

Étape 2

Réécrivez $8 x^{6}$ comme ${(2 x^{2})}^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{{(2 x^{2})}^{3}} + \frac{y^{3}}{216}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{1^{3}}{{(2 x^{2})}^{3}}$ comme ${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3}$ .

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + \frac{y^{3}}{216}$

Étape 4

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + \frac{y^{3}}{6^{3}}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{y^{3}}{6^{3}}$ comme ${(\frac{y}{6})}^{3}$ .

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{3} + {(\frac{y}{6})}^{3}$

Étape 6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = \frac{1}{2 x^{2}}$ et $b = \frac{y}{6}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) ({(\frac{1}{2 x^{2}})}^{2} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1^{2}}{{(2 x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 x^{2}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1^{2}}{2^{2} {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{2^{2} {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 {(x^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{2 \cdot 2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.4

Multipliez $- \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{y}{6}$ .

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{y}{6}$ par $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{6 (2 x^{2})} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + {(\frac{y}{6})}^{2})$

Étape 7.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{6}$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}})$

Étape 7.6

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{4 x^{4}} - \frac{y}{12 x^{2}} + \frac{y^{2}}{36})$

Étape 7.7

Factorisez.

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Étape 7.7.1

Factorisez $\frac{1}{36}$ dans chaque terme.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) (\frac{1}{36} (\frac{9}{x^{4}} - \frac{3 y}{x^{2}} + y^{2}))$

Étape 7.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(\frac{1}{2 x^{2}} + \frac{y}{6}) \frac{1}{36} (\frac{9}{x^{4}} - \frac{3 y}{x^{2}} + y^{2})$