Algèbre Exemples

$\frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} = a + b \sqrt{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{10 - \sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{9 (2)}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - (3 \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$

Étape 2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{10 - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$a + b \sqrt{2} = \frac{(10 - 3 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5

Multipliez $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 2.5.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Étape 2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Étape 2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 2.6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 2.6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 2.6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2^{1}}{2}$

Étape 2.6.1.5

Évaluez l’exposant.

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{10 \sqrt{2} - 6}{2}$

Étape 2.7

Annulez le facteur commun à $10 \sqrt{2} - 6$ et $2$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{2}$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2}) - 6}{2}$

Étape 2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2}) + 2 \cdot - 3}{2}$

Étape 2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 \sqrt{2}) + 2 (- 3)$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2} - 3)}{2}$

Étape 2.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2} - 3)}{2 (1)}$

Étape 2.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$a + b \sqrt{2} = \frac{2 (5 \sqrt{2} - 3)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$a + b \sqrt{2} = \frac{5 \sqrt{2} - 3}{1}$

Étape 2.7.4.4

Divisez $5 \sqrt{2} - 3$ par $1$ .

$a + b \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} - 3$

Étape 3

Soustrayez $b \sqrt{2}$ des deux côtés de l’équation.

$a = 5 \sqrt{2} - 3 - b \sqrt{2}$