Algèbre Exemples

$\frac{- 3 (m^{2} - n^{2})}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = m$ et $b = n$ .

$\frac{- 3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(3 (m + n)) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ .

$- (\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}) + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{3 (m + n) (m - n)}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.2

Élevez $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} \sqrt{n^{2} + m^{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.3

Élevez $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1} {\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{1 + 1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{n^{2} + m^{2}}}^{2}$ comme $n^{2} + m^{2}$ .

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Étape 1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ comme ${(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{({(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{{(n^{2} + m^{2})}^{1}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 1.4.6.5

Simplifiez

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n^{2} + m^{2}}{n^{2} + m^{2}}$ .

$- \frac{3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}}{n^{2} + m^{2}} + \frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ à partir de $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}} + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ à partir de $- 3 (m + n) (m - n) \sqrt{n^{2} + m^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ à partir de $\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n)) + \sqrt{n^{2} + m^{2}} (n^{2} + m^{2})$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m + n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} ((- 3 m - 3 n) (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.3

Développez $(- 3 m - 3 n) (m - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m (m - n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n (m - n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m \cdot m - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.1.1

Déplacez $m$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 (m \cdot m) - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 m (- n) - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} - 3 \cdot - 1 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 n (- n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n \cdot n + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.1.5

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.5.1

Déplacez $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 (n \cdot n) + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.1.5.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m - 3 \cdot - 1 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 n m + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $3 n m$ de $3 m n$ .

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Étape 4.4.2.1

Déplacez $n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 m n - 3 m n + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $3 m n$ de $3 m n$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 0 + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.4.3

Additionnez $- 3 m^{2}$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 3 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2} + m^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.5

Additionnez $- 3 m^{2}$ et $m^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 3 n^{2} + n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.6

Additionnez $3 n^{2}$ et $n^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 2 m^{2} + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $2$ à partir de $- 2 m^{2} + 4 n^{2}$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 m^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 4 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.7.2

Factorisez $2$ à partir de $4 n^{2}$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 4.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- m^{2}) + 2 (2 n^{2})$ .

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} (2 (- m^{2} + 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

$\frac{\sqrt{n^{2} + m^{2}} \cdot 2 (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{n^{2} + m^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- m^{2} + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- m^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) + 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 n^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2}) - (- 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (m^{2}) - (- 2 n^{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Réécrivez $- (m^{2} - 2 n^{2})$ comme $- 1 (m^{2} - 2 n^{2})$ .

$\frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (- 1 (m^{2} - 2 n^{2}))}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$

Étape 5.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 \sqrt{n^{2} + m^{2}}) (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{n^{2} + m^{2}} (m^{2} - 2 n^{2})}{n^{2} + m^{2}}$