Algèbre Exemples

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 30}{5 - x} \div \frac{x^{2} - 7 x + 6}{1 - x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 11 x + 30}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 11 x + 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $30$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 6, - 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (x - 5)}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x - 5$ et $5 - x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x) - 5)}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x) - 1 (5))}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{5 - x} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{- x + 5} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{- x - 1} \cdot \frac{(x - 6) (- 1 (- x + 5))}{- x + 5} \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.1.6

Divisez $(x - 6) \cdot (- 1)$ par $1$ .

$\frac{4}{- x - 1} \cdot ((x - 6) \cdot (- 1)) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{4}{- x - 1} (x - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- \frac{4}{- x - 1} x - \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 3.4

Associez $x$ et $\frac{4}{- x - 1}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} - \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 4

Multipliez $- \frac{4}{- x - 1} \cdot - 6$ .

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Étape 4.1

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + 6 \frac{4}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 4.2

Associez $6$ et $\frac{4}{- x - 1}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{6 \cdot 4}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 4.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{1^{2} - x^{2}}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} - 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(- \frac{x \cdot 4}{- x - 1} + \frac{24}{- x - 1}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x \cdot 4 + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 x + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 24$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 24}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.3.2

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (6)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à $1 - x$ et $x - 1$ .

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Étape 7.4.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - x)}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (- 1 + x))}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 6) (x - 1)}$

Étape 7.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{(1 + x) \cdot (- 1)}{x - 6}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + x$ .

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot (1 + x)}{x - 6}$

Étape 7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} (- \frac{1 + x}{x - 6})$

Étape 7.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{4 (- x + 6)}{- x - 1} \cdot \frac{1 + x}{x - 6}$

Étape 7.6

Multipliez $\frac{1 + x}{x - 6}$ par $\frac{4 (- x + 6)}{- x - 1}$ .

$- \frac{(1 + x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun à $1 + x$ et $- x - 1$ .

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Étape 7.7.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{(- 1 (- 1) + x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Étape 7.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$- \frac{(- 1 (- 1) - 1 (- x)) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Étape 7.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - 1 (- x)$ .

$- \frac{- 1 (- 1 - x) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Étape 7.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{- 1 (- x - 1) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Étape 7.7.5

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 1 (- x - 1) (4 (- x + 6))}{(x - 6) (- x - 1)}$

Étape 7.7.6

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 1 (4 (- x + 6))}{x - 6}$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun à $- x + 6$ et $x - 6$ .

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Étape 7.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- \frac{- 1 (4 (- (x) + 6))}{x - 6}$

Étape 7.8.2

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{- 1 (4 (- (x) - 1 (- 6)))}{x - 6}$

Étape 7.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$- \frac{- 1 (4 (- (x - 6)))}{x - 6}$

Étape 7.8.4

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$- \frac{- 1 (4 (- 1 (x - 6)))}{x - 6}$

Étape 7.8.5

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 1 \cdot 4 (- 1 (x - 6))}{x - 6}$

Étape 7.8.6

Divisez $- 1 \cdot 4 \cdot (- 1)$ par $1$ .

$- (- 1 \cdot 4 \cdot (- 1))$

Étape 8

Multipliez $- (- 1 \cdot 4 \cdot (- 1))$ .

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- (- 4 \cdot - 1)$

Étape 8.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 1 \cdot 4$

Étape 8.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4$