Algèbre Exemples

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x^{2} (1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} (1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{1}{x} + x^{2} (- \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x \cdot x \frac{1}{x} + x^{2} (- \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x + x^{2} (- \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x + x^{2} \frac{- 2}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x + x^{2} \frac{- 2}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x - 2}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x - 2}{x^{2} \cdot 1 + x \cdot x \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x - 2}{x^{2} \cdot 1 + x \cdot x \frac{2}{x} + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x - 2}{x^{2} \cdot 1 + x \cdot 2 + x^{2} (- \frac{3}{x^{2}})}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x - 2}{x^{2} \cdot 1 + x \cdot 2 + x^{2} \frac{- 3}{x^{2}}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x - 2}{x^{2} \cdot 1 + x \cdot 2 + x^{2} \frac{- 3}{x^{2}}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x - 2}{x^{2} \cdot 1 + x \cdot 2 - 3}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} \cdot 1 + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{2} \cdot 1 + x \cdot 2 - 3}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} \cdot 1 + x \cdot 2 - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x + 3}$