Algèbre Exemples

$2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$

Étape 1

Simplifiez l’expression dans l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

$2 \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \ln (16) + \ln (a + 7)$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $\ln (16)$ .

$2 \ln (a + 3) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \ln (a + 3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Simplifiez $\frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez $\ln (16)$ comme $\ln (2^{4})$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (2^{4})}{4} + \ln (a + 7)$

Étape 3.1.1.2

Développez $\ln (2^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Étape 3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Étape 3.1.1.3.2

Divisez $\ln (2)$ par $1$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2) + \ln (a + 7)$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 (a + 7))$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 2 \cdot 7)$

Étape 3.1.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 14)$

Étape 4

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

${(a + 3)}^{2} = 2 a + 14$

Étape 5

Résolvez $a$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant $a$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 a$ des deux côtés de l’équation.

${(a + 3)}^{2} - 2 a = 14$

Étape 5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1

Réécrivez ${(a + 3)}^{2}$ comme $(a + 3) (a + 3)$ .

$(a + 3) (a + 3) - 2 a = 14$

Étape 5.1.2.2

Développez $(a + 3) (a + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a (a + 3) + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Étape 5.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Étape 5.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Étape 5.1.2.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $a$ .

$a^{2} + 3 \cdot a + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Étape 5.1.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$a^{2} + 3 a + 3 a + 9 - 2 a = 14$

Étape 5.1.2.3.2

Additionnez $3 a$ et $3 a$ .

$a^{2} + 6 a + 9 - 2 a = 14$

Étape 5.1.3

Soustrayez $2 a$ de $6 a$ .

$a^{2} + 4 a + 9 = 14$

Étape 5.2

Soustrayez $14$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} + 4 a + 9 - 14 = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $14$ de $9$ .

$a^{2} + 4 a - 5 = 0$

Étape 5.4

Factorisez $a^{2} + 4 a - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 5.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(a - 1) (a + 5) = 0$

Étape 5.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a - 1 = 0$

$a + 5 = 0$

Étape 5.6

Définissez $a - 1$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $a - 1$ égal à $0$ .

$a - 1 = 0$

Étape 5.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 1$

Étape 5.7

Définissez $a + 5$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 5.7.1

Définissez $a + 5$ égal à $0$ .

$a + 5 = 0$

Étape 5.7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$a = - 5$

Étape 5.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(a - 1) (a + 5) = 0$ vraie.

$a = 1, - 5$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$ vrai.

$a = 1$