Algèbre Exemples

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1

Simplifiez $(x - 4) (3 x + 1)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 4) (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.3

Développez $(x - 4) (3 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x + 1) - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x + 1) < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot 1 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$3 x^{2} + x - 12 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 1.4.2

Soustrayez $12 x$ de $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < (2 x - 6) (x - 2) + 4$

Étape 2

Simplifiez $(2 x - 6) (x - 2) + 4$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Développez $(2 x - 6) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x (x - 2) - 6 (x - 2) + 4$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 (x - 2) + 4$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Étape 2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Étape 2.1.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 6 \cdot - 2 + 4$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + 4$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $6 x$ de $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 12 + 4$

Étape 2.2

Additionnez $12$ et $4$ .

$3 x^{2} - 11 x - 4 < 2 x^{2} - 10 x + 16$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} < - 10 x + 16$

Étape 3.2

Ajoutez $10 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} - 11 x - 4 - 2 x^{2} + 10 x < 16$

Étape 3.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 4 + 10 x < 16$

Étape 3.4

Additionnez $- 11 x$ et $10 x$ .

$x^{2} - x - 4 < 16$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - x - 4 = 16$

Étape 5

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 4 - 16 = 0$

Étape 6

Soustrayez $16$ de $- 4$ .

$x^{2} - x - 20 = 0$

Étape 7

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 9

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 10

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 5, - 4$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 5$

$x > 5$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 6) - 4) (3 (- 6) + 1) < (2 (- 6) - 6) ((- 6) - 2) + 4$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $170$ n’est pas inférieur au côté droit $148$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) - 4) (3 (0) + 1) < (2 (0) - 6) ((0) - 2) + 4$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $- 4$ est inférieur au côté droit $16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$((8) - 4) (3 (8) + 1) < (2 (8) - 6) ((8) - 2) + 4$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $100$ n’est pas inférieur au côté droit $64$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < 5$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 4 < x < 5$

Notation d’intervalle :

$(- 4, 5)$

Étape 16