Algèbre Exemples

$\sqrt{32} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\sqrt{16 (2)} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 2

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$2 (2 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (2 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (2 \sqrt{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (2 \sqrt{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Étape 10

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) i$

Étape 11

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) i$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} i$

Étape 13

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2^{1} + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14.1.5

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 2 + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 {\sqrt{2}}^{2} i$

Étape 14.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i$

Étape 14.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i$

Étape 14.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i$

Étape 14.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} i$

Étape 14.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 + 2 \cdot 2^{1} i$

Étape 14.3.5

Évaluez l’exposant.

$4 + 2 \cdot 2 i$

Étape 14.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 4 i$