Algèbre Exemples

${(a + b i)}^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(a + b i)}^{2}$ comme $(a + b i) (a + b i)$ .

$(a + b i) (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(a + b i) (a + b i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a (a + b i) + b i (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a \cdot a + a (b i) + b i (a + b i) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a \cdot a + a (b i) + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} + a (b i) + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} + i a b + b i a + b i (b i) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.3.1

Déplacez $b$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b \cdot b i i - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i i - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $b^{2} i i$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} (i^{1} i) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} (i^{1} i^{1}) - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i^{1 + 1} - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} i^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$a^{2} + i a b + b i a + b^{2} \cdot - 1 - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $b^{2}$ .

$a^{2} + i a b + b i a - 1 \cdot b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.1.7

Réécrivez $- 1 b^{2}$ comme $- b^{2}$ .

$a^{2} + i a b + b i a - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.2

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$a^{2} + a b i + a b i - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.3.3

Additionnez $a b i$ et $a b i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - {(a - b i)}^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(a - b i)}^{2}$ comme $(a - b i) (a - b i)$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - ((a - b i) (a - b i))$

Étape 1.5

Développez $(a - b i) (a - b i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a (a - b i) - b i (a - b i))$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a \cdot a + a (- b i) - b i (a - b i))$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a \cdot a + a (- b i) - b i a - b i (- b i))$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} + a (- b i) - b i a - b i (- b i))$

Étape 1.6.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b i (- b i))$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.3.1

Déplacez $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - (b \cdot b) i (- 1 i))$

Étape 1.6.1.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2} i (- 1 i))$

Étape 1.6.1.4

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2} i (- i))$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $- b^{2} i (- i)$ .

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Étape 1.6.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + 1 b^{2} i i)$

Étape 1.6.1.5.2

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i i)$

Étape 1.6.1.5.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} (i^{1} i))$

Étape 1.6.1.5.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} (i^{1} i^{1}))$

Étape 1.6.1.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i^{1 + 1})$

Étape 1.6.1.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} i^{2})$

Étape 1.6.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a + b^{2} \cdot - 1)$

Étape 1.6.1.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $b^{2}$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - 1 \cdot b^{2})$

Étape 1.6.1.8

Réécrivez $- 1 b^{2}$ comme $- b^{2}$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - i a b - b i a - b^{2})$

Étape 1.6.2

Déplacez $b$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - a b i - 1 a b i - b^{2})$

Étape 1.6.3

Soustrayez $a b i$ de $- a b i$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - (a^{2} - 2 a b i - b^{2})$

Étape 1.7

Appliquez la propriété distributive.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} - (- 2 a b i) - - b^{2}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) - - b^{2}$

Étape 1.8.2

Multipliez $- - b^{2}$ .

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Étape 1.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) + 1 b^{2}$

Étape 1.8.2.2

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 (a b i) + b^{2}$

Étape 1.9

Supprimez les parenthèses.

$a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 a b i + b^{2}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $a^{2} + 2 a b i - b^{2} - a^{2} + 2 a b i + b^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$2 a b i - b^{2} + 0 + 2 a b i + b^{2}$

Étape 2.1.2

Additionnez $2 a b i - b^{2}$ et $0$ .

$2 a b i - b^{2} + 2 a b i + b^{2}$

Étape 2.1.3

Additionnez $- b^{2}$ et $b^{2}$ .

$2 a b i + 2 a b i + 0$

Étape 2.1.4

Additionnez $2 a b i + 2 a b i$ et $0$ .

$2 a b i + 2 a b i$

Étape 2.2

Additionnez $2 a b i$ et $2 a b i$ .

$4 a b i$