Algèbre Exemples

$\frac{- x - 6}{x + 9} \cdot \frac{x + 10}{- 2 x - 18} \div \frac{x^{2} + 16 x + 60}{x^{2} + 18 x + 81}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{- x - 6}{x + 9} \cdot \frac{x + 10}{- 2 x - 18} \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 18$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- x - 6}{x + 9} \cdot \frac{x + 10}{2 (- x) - 18} \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{- x - 6}{x + 9} \cdot \frac{x + 10}{2 (- x) + 2 (- 9)} \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{- x - 6}{x + 9} \cdot \frac{x + 10}{2 (- x - 9)} \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3

Multipliez $\frac{- x - 6}{x + 9} \cdot \frac{x + 10}{2 (- x - 9)}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{- x - 6}{x + 9}$ par $\frac{x + 10}{2 (- x - 9)}$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{(x + 9) (2 (- x - 9))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{(- 1 (- x) + 9) (2 (- x - 9))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.3

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{(- 1 (- x) - 1 (- 9)) (2 (- x - 9))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{- 1 (- x - 9) (2 (- x - 9))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.5

Élevez $- x - 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{- 1 \cdot 2 ({(- x - 9)}^{1} (- x - 9))} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.6

Élevez $- x - 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{- 1 \cdot 2 ({(- x - 9)}^{1} {(- x - 9)}^{1})} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{- 1 \cdot 2 {(- x - 9)}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{- 1 \cdot 2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(- x - 6) (x + 10)}{- 2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(- x - 6) (x + 10)}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$- \frac{(- x - 6) (x + 10)}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 9^{2}}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$- \frac{(- x - 6) (x + 10)}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 9$ .

$- \frac{(- x - 6) (x + 10)}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x^{2} + 16 x + 60}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} + 16 x + 60$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $60$ et dont la somme est $16$ .

$6, 10$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{(- x - 6) (x + 10)}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 6) (x + 10)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x + 10$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{(- x - 6) (x + 10)}{2 {(- x - 9)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- (- x - 6) (x + 10)}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 6) (x + 10)}$

Étape 7.1.2

Factorisez $x + 10$ à partir de $- (- x - 6) (x + 10)$ .

$\frac{(x + 10) (- (- x - 6))}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 6) (x + 10)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $x + 10$ à partir de $(x + 6) (x + 10)$ .

$\frac{(x + 10) (- (- x - 6))}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 10) (x + 6)}$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 10) (- (- x - 6))}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 10) (x + 6)}$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (- x - 6)}{2 {(- x - 9)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 6}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{- (- x - 6)}{2 {(- x - 9)}^{2}}$ par $\frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 6}$ .

$\frac{- (- x - 6) {(x + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2} (x + 6)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $- x - 6$ et $x + 6$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (- (x) - 6) {(x + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2} (x + 6)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{- (- (x) - 1 (6)) {(x + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2} (x + 6)}$

Étape 7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{- - (x + 6) {(x + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2} (x + 6)}$

Étape 7.3.4

Réécrivez $- (x + 6)$ comme $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{- (- 1 (x + 6)) {(x + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2} (x + 6)}$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (- 1 (x + 6)) {(x + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2} (x + 6)}$

Étape 7.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (- 1) {(x + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à ${(x + 9)}^{2}$ et ${(- x - 9)}^{2}$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (- 1) {(- 1 (- x) + 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4.2

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{- (- 1) {(- 1 (- x) - 1 (- 9))}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{- (- 1) {(- 1 (- x - 9))}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- x - 9)$ .

$\frac{- (- 1) ({(- 1)}^{2} {(- x - 9)}^{2})}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- (- 1) (1 {(- x - 9)}^{2})}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4.6

Multipliez ${(- x - 9)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- (- 1) {(- x - 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4.7

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (- 1) {(- x - 9)}^{2}}{2 {(- x - 9)}^{2}}$

Étape 7.4.8

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (- 1)}{2}$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$