Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x + 1) (x + 5) {(x + 2)}^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1)}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{1}{x (x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{x (x + 2) (x + 5)}$ par $\frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x (x + 2) (x + 5) ((x + 1) {(x + 2)}^{2})}$

Étape 3.3

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x ({(x + 2)}^{2} {(x + 2)}^{1}) (x + 5) (x + 1)}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{2 + 1} (x + 5) (x + 1)}$

Étape 3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)}$

Étape 3.6

Réorganisez les facteurs de $x {(x + 2)}^{3} (x + 5) (x + 1)$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)} - \frac{(x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5) - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1

Développez $(x^{2} + 3 x + 2) (x + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 2 \cdot 5 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.2.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 3 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.3

Additionnez $5 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 15 x + 2 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.4

Additionnez $15 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x + 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1 \cdot 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) {(x + 2)}^{2}}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.7

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) ((x + 2) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.8

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.9.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.9.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.9.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 + (- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.10

Développez $(- x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x \cdot x^{2} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.11.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - (x^{2} x^{1}) - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{2 + 1} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - x (4 x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.11.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 1 \cdot 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - x \cdot 4 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.6

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.11.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.12

Soustrayez $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 4 x - 4 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.13

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 17 x + 10 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.14

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 + 0 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.15

Additionnez $8 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{8 x^{2} + 17 x + 10 - 5 x^{2} - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.16

Soustrayez $5 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 17 x + 10 - 8 x - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.17

Soustrayez $8 x$ de $17 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 10 - 4}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.18

Soustrayez $4$ de $10$ .

$\frac{3 x^{2} + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.19

Réécrivez $3 x^{2} + 9 x + 6$ en forme factorisée.

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Étape 5.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 9 x + 6$ .

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Étape 5.19.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 9 x + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.19.1.2

Factorisez $3$ à partir de $9 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (3 x) + 6}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.19.1.3

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.19.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (3 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.19.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 3 x) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.19.2

Factorisez.

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Étape 5.19.2.1

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.19.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 5.19.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 ((x + 1) (x + 2))}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.19.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.20

Réduisez l’expression $\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x + 1) (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 1) (x + 5)}$

Étape 5.20.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

Étape 6

Réduisez l’expression $\frac{3 (x + 2)}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $3 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{x {(x + 2)}^{3} (x + 5)}$

Étape 6.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $x {(x + 2)}^{3} (x + 5)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) \cdot 3}{(x + 2) (x {(x + 2)}^{2} (x + 5))}$

Étape 6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x {(x + 2)}^{2} (x + 5)}$