Algèbre Exemples

$\frac{1}{1 - \sqrt{5}} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$ par $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{5}} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$ par $\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{(1 - \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Étape 1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{1 + \sqrt{5}}{- 4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{1 + \sqrt{5}}$ par $\frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ .

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1}{1 + \sqrt{5}} \cdot \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{1}{1 + \sqrt{5}}$ par $\frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}$ .

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{(1 + \sqrt{5}) (1 - \sqrt{5})}$

Étape 1.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 1.9

Simplifiez

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1 - \sqrt{5}}{- 4}$

Étape 1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \sqrt{5}}{4} - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (1 + \sqrt{5}) - (1 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5})}{4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 \cdot 1 - - \sqrt{5}}{4}$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 - - \sqrt{5}}{4}$

Étape 3.5

Multipliez $- - \sqrt{5}$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 + 1 \sqrt{5}}{4}$

Étape 3.5.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5}}{4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2 - \sqrt{5} + \sqrt{5}}{4}$

Étape 4.2

Additionnez $- \sqrt{5}$ et $\sqrt{5}$ .

$\frac{- 2 + 0}{4}$

Étape 4.3

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{- 2}{4}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$