Algèbre Exemples

$\sqrt[4]{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt[4]{{(x^{2} + 2 x + 1^{2})}^{2}}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\sqrt[4]{{(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}^{2}}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\sqrt[4]{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[4]{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt[4]{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 3

Utilisez le théorème du binôme.

$\sqrt[4]{x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sqrt[4]{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}}$

Étape 4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt[4]{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}}$

Étape 4.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\sqrt[4]{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}}$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt[4]{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}}$

Étape 4.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sqrt[4]{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}}$

Étape 4.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt[4]{x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1}$

Étape 5

Factorisez $x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1$ en utilisant le théorème du binôme.

$\sqrt[4]{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + 1$