Algèbre Exemples

$\frac{x - 7}{x^{2} - 16} - \frac{x - 1}{16 - x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x - 7}{x^{2} - 4^{2}} - \frac{x - 1}{16 - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{16 - x^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{4^{2} - x^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(4 + x) (4 - x)}$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (4 - x)}$

Étape 2.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (- 4) - x)}$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (- 4) - (x))}$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 4) - (x)$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (- 4 + x))}$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 4) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x - 7}{(x + 4) (x - 4)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(x - 7) \cdot - 1}{(x + 4) (x - 4) \cdot - 1} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x - 4) \cdot - 1$ .

$\frac{(x - 7) \cdot - 1}{- (x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{(x + 4) (- 1 (x - 4))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (- 1 (x - 4))$ .

$\frac{(x - 7) \cdot - 1}{- (x + 4) (x - 4)} - \frac{x - 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 7) \cdot - 1 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot - 1 - 7 \cdot - 1 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x - 7 \cdot - 1 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot x + 7 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{- x + 7 - (x - 1)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x + 7 - x - - 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x + 7 - x + 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.7

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{- 2 x + 7 + 1}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.8

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{- 2 x + 8}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.9

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 8$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 8}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.9.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (4)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $- x + 4$ et $x - 4$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{- (x + 4) (x - 4)}$

Étape 7.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{- (x + 4)}$

Étape 7.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{2}{x + 4}$